<1>简单的2-D追踪-Twinsen编写 -本人水平有限,疏忽错误在所难免,还请各位数学高手、编程高手不吝赐教-我的Email-address: popyy@netease.com
Andre Lamothe说:“向量几何是游戏程序员最好的朋友”。一点不假,向量几何在游戏编程中的地位不容忽视,因为在游戏程序员的眼中,显示屏幕就是一个坐标系,运动物体的轨迹就是物体在这个坐标系曲线运动结果,而描述这些曲线运动的,就是向量。使用向量可以很好的模拟物理现象以及基本的AI.
现在,先来点轻松的,复习一下中学知识。
向量v(用粗体字母表示向量)也叫矢量,是一个有大小有方向的量。长度为1的向量称为单位向量,也叫幺矢,这里记为E.长度为0的向量叫做零向量,记为0,零向量没有确定方向,换句话说,它的方向是任意的。
一、向量的基本运算
1、向量加法:a+b等于使b的始点与a的终点重合时,以a的始点为始点,以b的终点为终点的向量。 2、向量减法:a-b等于使b的始点与a的始点重合时,以b的终点为始点,以a的终点为终点的向量。
3、 数量乘向量:k*a,k>0时,等于a的长度扩大k倍;k=0时,等于0向量;k<0时,等于a的长度扩大|k|倍然后反向。
4、向量的内积(数量积、点积): a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的长度乘上b的长度再乘上a与b之间夹角的余弦。
它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积,或者是b的长度与a在b上投影长的乘积,它是一个标量,而
且可正可负。因此互相垂直的向量的内积为0.
5、向量的矢积(叉积): a x b = |a|*|b|*sinA*v = c, |a|是a的长度,|b|是b的长度,A是a和b之间的锐夹角,v是与a,b所决定的平面垂直的幺矢,即axb与a、b都垂直。a,b,c构成右手系,即右手拇指伸直,其余四指按由a到b的锐角蜷曲,此时拇指所指方向就是c的方向。因此axb!=bxa,bxa是手指朝b到a的锐角蜷曲时,拇指指向的方向,它和c相反,即-c.a x b的行列式计算公式在左右手坐标系下是不同的,如上图所示。两个向量的矢积是一个向量。
6、正交向量的内积:互相垂直的两个向量是正交的,正交向量的内积为零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0.
二、向量的性质
没有下面的这些性质做基础,我们后面向量技巧的推导将无法进行。
1) a + b = b + a
2) (a + b) + c = a + (b + c)
3) a + 0 = 0 + a = a
4) a + (-a) = 0
5) k*(l*a) = (k*l)*a = a*(k*l)
6) k*(a + b) = k*a + k*b
7) (k + l)*a = k*a + l*a
8) 1*a = a
9) a.b = b.a
10)a.(b + c) = a.b + a.c
11)k*(a.b) = (k*a)。b = a.(k*b)
12)0.a = 0
13)a.a = |a|^2
三、自由向量的代数(分量)表示
1、向量在直角坐标中的代数表示方法:
a=(x,y)
其中x,y分别是向量在x轴和y轴上的分量。任何一个在直角坐标轴上的分量为(x,y)的向量都相等。比如上图中的每个向量都表示为(-2,1)。
或者写成a=x*i+y*j,即i和j的线性组合,这里i是x轴方向的单位向量(1,0),j是y轴方向的单位向量(0,1),因此i正交于j.任意一个2-D向量都可以表成i与j的线性组合。
|i| = |j| = 1 |