向量几何在游戏编程中的使用

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<1>简单的2-D追踪-Twinsen编写　　-本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位数学高手、编程高手不吝赐教-我的Email-address： popyy@netease.com
　　Andre Lamothe说：“向量几何是游戏程序员最好的朋友”。一点不假，向量几何在游戏编程中的地位不容忽视，因为在游戏程序员的眼中，显示屏幕就是一个坐标系，运动物体的轨迹就是物体在这个坐标系曲线运动结果，而描述这些曲线运动的，就是向量。使用向量可以很好的模拟物理现象以及基本的AI.
　　现在，先来点轻松的，复习一下中学知识。
　　向量v(用粗体字母表示向量)也叫矢量，是一个有大小有方向的量。长度为1的向量称为单位向量，也叫幺矢，这里记为E.长度为0的向量叫做零向量，记为0，零向量没有确定方向，换句话说，它的方向是任意的。
　　一、向量的基本运算

1、向量加法：a+b等于使b的始点与a的终点重合时，以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量。

　　2、向量减法：a-b等于使b的始点与a的始点重合时，以b的终点为始点，以a的终点为终点的向量。
　　3、 数量乘向量：k*a，k>0时，等于a的长度扩大k倍；k=0时，等于0向量；k<0时，等于a的长度扩大|k|倍然后反向。
　　4、向量的内积(数量积、点积)： a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的长度乘上b的长度再乘上a与b之间夹角的余弦。
　　它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积，或者是b的长度与a在b上投影长的乘积，它是一个标量，而
　　且可正可负。因此互相垂直的向量的内积为0.

　　5、向量的矢积(叉积)： a x b = |a|*|b|*sinA*v = c， |a|是a的长度，|b|是b的长度，A是a和b之间的锐夹角，v是与a，b所决定的平面垂直的幺矢，即axb与a、b都垂直。a，b，c构成右手系，即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的锐角蜷曲，此时拇指所指方向就是c的方向。因此axb！=bxa，bxa是手指朝b到a的锐角蜷曲时，拇指指向的方向，它和c相反，即-c.a x b的行列式计算公式在左右手坐标系下是不同的，如上图所示。两个向量的矢积是一个向量。
　　6、正交向量的内积：互相垂直的两个向量是正交的，正交向量的内积为零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0.
　　二、向量的性质
　　没有下面的这些性质做基础，我们后面向量技巧的推导将无法进行。
　　1) a + b = b + a
　　2) (a + b) + c = a + (b + c)
　　3) a + 0 = 0 + a = a
　　4) a + (-a) = 0
　　5) k*(l*a) = (k*l)*a = a*(k*l)
　　6) k*(a + b) = k*a + k*b
　　7) (k + l)*a = k*a + l*a
　　8) 1*a = a
　　9) a.b = b.a
　　10)a.(b + c) = a.b + a.c
　　11)k*(a.b) = (k*a)。b = a.(k*b)
　　12)0.a = 0
　　13)a.a = |a|^2
　　三、自由向量的代数(分量)表示
　　1、向量在直角坐标中的代数表示方法：
　　a=(x，y)
　　其中x，y分别是向量在x轴和y轴上的分量。任何一个在直角坐标轴上的分量为(x，y)的向量都相等。比如上图中的每个向量都表示为(-2，1)。
　　或者写成a=x*i+y*j，即i和j的线性组合，这里i是x轴方向的单位向量(1，0)，j是y轴方向的单位向量(0，1)，因此i正交于j.任意一个2-D向量都可以表成i与j的线性组合。
　　|i| = |j| = 1

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2、向量的代数(分量)表示的运算：　　向量加法分量表示：a+b=(xa，ya)+(xb，yb)=(xa+xb，ya+yb)
　　向量减法分量表示：a-b=(xa，ya)-(xb，yb)=(xa-xb，ya-yb)
　　向量的内积(数量积、点积)分量表示：
　　a.b
　　=(xa * i + ya * j)。(xb * i + yb * j)
　　= xa * i * xb * i + xa * i * yb * j + ya * j * xb * i + ya * j * yb * j
　　=(xa * xb) * (i * i) + (xa * yb) * (i * j) + (xb * ya) * (i * j) + (ya * yb) * (j * j)
　　= xa * xb + ya * yb
　　3、向量长度(模)的计算以及单位化(归一化)：

　　设a=(x,y)，则
　　|a| = |(x,y)| = |x*i + y*j| = sqrt(x^2*i^2 + y^2*j^2) = sqrt(x^2 + y^2)，这里sqrt是开平方符号。
　　a的单位向量为a/|a|，即(x，y)/sqrt(x^2 + y^2)。
　　四、简单的2-D追踪
　　现在，有了向量的基本知识，我们就可以分析一个常见的问题-屏幕上一点到另一点的追踪，其实这一问题也可理解为画线问题，画线的算法有很多：DDA画线法、中点画线法以及高效的Bresenham算法。但这些算法一般只是画一些两端固定的线段时所使用的方法，再做一些动态的点与点之间的跟踪时显得不很灵活。使用向量的方法可以很好的解决此类问题。
　　现在假设你正在编写一个飞行射击游戏，你的敌人需要一种很厉害的武器-跟踪导弹，这种武器在行进的同时不断的修正自己与目标之间的位置关系，使得指向的方向总是玩家，而不论玩家的位置在哪里，这对一个水平不高的玩家(我？)来说可能将是灭顶之灾，玩家可能很诧异敌人会拥有这么先进的秘密武器，但对于你来说只需要再程序循环中加入几行代码
　　，它们的原理是向量的单位化和基本向量运算。
　　首先我们要知道玩家的位置(x_player， y_player)，然后，我们的导弹就可以通过计算得到一个有初始方向的速度，速度的方向根据玩家的位置不断修正，它的实质是一个向量减法的计算过程。速度的大小我们自己来设置，它可快可慢，视游戏难易度而定，它的实质就是向量单位化和数乘向量的过程。具体算法是：导弹的更新速度(vx_missile， vy_missile) = 玩家的位置(x_player， y_player) - 导弹的位置(x_missile， y_missile)，然后再对(vx_missile， vy_missile)做缩小处理，导弹移动，判断是否追到玩家，重新更新速度，缩小……
　　看一下这个简单算法的代码：

// 假设x_player,y_player是玩家位置分量 // x_missile,y_missile是导弹位置分量 // xv_missile,yv_missile是导弹的速度分量 // 让我们开始吧！ float n_missile ; // 这是玩家位置与导弹位置之间向量的长度 float v_rate ; // 这是导弹的速率缩放比率 // 计算一下玩家与导弹之间的位置向量 xv_missile = x_player-x_missile ; // 向量减法，方向由导弹指向玩家，x分量 yv_missile = y_player-y_missile ; // y分量 // 计算一下它的长度 n_missile = sqrt( xv_missile*xv_missile + yv_missile*yv_missile ) ; // 归一化导弹的速度向量： xv_missile /= n_missile ; yv_missile /= n_missile ; // 此时导弹的速率为1，注意这里用速率。 // 导弹的速度分量满足xv_missile^2+yv_missile^2=1 // 好！现在导弹的速度方向已经被修正，它指向玩家。 // 由于现在的导弹速度太快，为了缓解一下紧张的气氛，我要给导弹减速 v_rate = 0.2f ; // 减速比率 xv_missile *= v_rate ; // 这里的速率缩放比率，你可以任意调整大小 yv_missile *= v_rate ; // 可以加速：v_rate大于1；减速v_rate大于0小于1，这里就这么做！ // 导弹行进！导弹勇敢的冲向玩家！ x_missile += xv_missile ; y_missile += yv_missile ; // 然后判断是否攻击成功

　　现在，你编写的敌人可以用跟踪导弹攻击玩家了。你也可以稍加修改，变为直线攻击武器。这样比较普遍。
　　基本的跟踪效果用向量可以很好的模拟。
　　此时，我们只用到了所述向量知识的很少的一部分。其他的知识会慢慢用到游戏中。这次先介绍到这里。
　　下次我将说说利用向量模拟2-D物体任意角度返弹的技巧：)但是！别忘了复习一下向量的基础知识，我们要用到它们。