向量几何在游戏编程中的使用(四)

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<4>2-D物体间的碰撞响应　　-Twinsen编写
　　-本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位数学高手、编程高手不吝赐教
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　　这次我要分析两个球体之间的碰撞响应，这样我们就可以结合以前的知识来编写一款最基本的2-D台球游戏了，虽然粗糙了点，但却是个很好的开始，对吗？
　　一、初步分析
　　中学时候上物理课能够认真听讲的人(我？哦，不包括我)应该很熟悉的记得：当两个球体在一个理想环境下相撞之后，它们的总动量保持不变，它们的总机械能也守恒。但这个理想环境是什么样的呢？理想环境会不会影响游戏的真实性？对于前者我们做出在碰撞过程中理想环境的假设：
　　1)首先我们要排除两个碰撞球相互作用之外的力，也就是假设没有外力作用于碰撞系统。
　　2)假设碰撞系统与外界没有能量交换。
　　3)两个球体相互作用的时间极短，且相互作用的内力很大。
　　有了这样的假设，我们就可以使用动量守恒和动能守恒定律来处理它们之间的速度关系了，因为1)确保没有外力参与，碰撞系统内部动量守恒，我们就可以使用动量守恒定律。2)保证了我们的碰撞系统的总能量不会改变，我们就可以使用动能守恒定律。3)两球发生完全弹性碰撞，不会粘在一起，没有动量、能量损失。
　　而对于刚才的第二个问题，我的回答是不会，经验告诉我们，理想环境的模拟看起来也是很真实的。除非你是在进行科学研究，否则完全可以这样理想的去模拟。

　　现在，我们可以通过方程来观察碰撞前后两球的速度关系。当两球球心移动方向共线(1-D处理)时的速度，或不共线(2-D处理)时共线方向的速度分量满足：
　　(1)m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2' (动量守恒定律)
　　(2)1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2 (动能守恒定律)
　　这里m1和m2是两球的质量，是给定的，v1和v2是两球的初速度也是我们已知的，v1'和v2'是两球的末速度，是我们要求的。好，现在我们要推导出v1'和v2'的表达式：
　　由(1)，得到v1' = (m1 * v1 + m2 * v2 - m2 * v2') / m1，代入(2)，得
　　1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * (m1 * v1 + m2 * v2 - m2 * v2')^2 + 1/2 * m2 * v2'^2
　　=> v2' = (2 * m2 * v1 + v2 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)，则
　　=> v1' = (2 * m1 * v2 + v1 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
　　我们现在得到的公式可以用于处理当两球球心移动方向共线(1-D处理)时的速度关系，或者不共线(2-D处理)时共线方向的速度分量的关系。不管是前者还是后者，我们都需要把它们的速度分解到同一个轴上才能应用上述公式进行处理。